Perché il determinante di [[1,2],[3,4]] è −2 e non 2?

det = ad−bc = 1·4 − 2·3 = 4−6 = −2. L’ordine bc conta. Se scambi le righe il segno del det cambia; i test aurei usano a=1, b=2, c=3, d=4.

Come si leggono Inverse a′, b′, c′, d′?

Sono le quattro voci dell’inversa (1/det)·[[d,−b],[−c,a]]. Con det=−2: a′=4/(−2)=−2, b′=−2/(−2)=1, c′=−3/(−2)=1,5, d′=1/(−2)=−0,5.

Cosa succede se il determinante è zero?

L’inversa non esiste: si divide per det. Non è il caso 1,2,3,4. Una matrice con righe multiple (2,4,3,6) ha det 0: non usare quei numeri come se fossero il seme.

L’inversa è unica?

Sì, se det ≠ 0. Moltiplicando A A⁻¹ ottieni I. Verifica: riga1 × col1 dell’inversa dovrebbe dare 1. Con queste voci funziona; se arrotondi 1,5 in 2, no.

Posso risolvere un sistema 2×2 con questa inversa?

Sì: x = A⁻¹ b. Calcola prima le quattro voci, poi il prodotto. Per prodotti vettoriali 3D o distanze, cambia strumento: qui sei in 2×2.

1,5 è una frazione 3/2?

Sì, c′ = 3/2. Lo schermo mostra 1,5. In consegna puoi scrivere 3/2; i test accettano 1,5.

Determinante e inverso della matrice 2×2

Determinante e inverso della matrice 2×2 legge a (row1 col1), b (row1 col2), c (row2 col1), d (row2 col2) e calcola Determinant e le quattro voci Inverse a′…d′. Seme [[1,2],[3,4]]: det −2, inversa con −2, 1, 1,5, −0,5.

Perché il determinante dice se l’inversa 2×2 esiste

det = 0 significa area con segno nulla: le colonne sono linearmente dipendenti e non c’è inversa. det = −2 significa orientamento invertito e area 2. Chi calcola ad+bc invece di ad−bc ottiene 10 e un’inversa inventata.

Le quattro voci dell’inversa non sono «1 diviso ciascuna voce». Si scambiano a e d, si cambiano segno a b e c, si divide per det. Con 1,2,3,4 il risultato −2, 1, 1,5, −0,5 è il banco di prova. Grafici, sistemi e trasformazioni 2D passano da qui prima di salire ai prodotti vettoriali 3D.

Prima di iniziare

Scrivi la matrice per righe: a b / c d. Seme 1,2,3,4. Tieni una moltiplicazione a mano per A A⁻¹. Se il problema è 3D, non interpolare una terza riga: usa vettori o distanza 3D.

Casi d’uso comuni

Verificare det([[1,2],[3,4]])=−2
Copiare l’inversa (−2, 1; 1,5, −0,5)
Decidere se un sistema 2×2 è determinato
Controllare un’implementazione ad−bc
Preparare una rotazione/scala 2D invertibile
Passare ai prodotti scalare/vettoriale in 3D

Come utilizzare questa calcolatrice

Inserisci a = 1, b = 2, c = 3, d = 4.
Leggi Determinant = −2.
Leggi Inverse a′ = −2, b′ = 1, c′ = 1,5, d′ = −0,5.

Procedura dettagliata passo dopo passo

Chiara deve invertire A = [[1,2],[3,4]] per un sistema.

Calcolo: det=4−6=−2. A⁻¹ = (−1/2) [[4,−2],[−3,1]] = [[−2,1],[1,5, −0,5]].

Schermo: det −2, ia −2, ib 1, ic 1,5, id −0,5.

Controllo: riga 1 di A per col 1 di A⁻¹: 1·(−2)+2·1,5 = −2+3 = 1. Identità ok.

Formula e metodo

det = ad−bc; A⁻¹ = (1/det) [[d,−b],[−c,a]].

Comprendere ogni input

Quattro voci in ordine di riga. Uscite: det e inversa.

Ipotesi

Matrice reale 2×2. det ≠ 0 per l’inversa. Nessun pivot parziale, nessuna 3×3.

Errori comuni con Determinante e inverso della matrice 2×2

ad+bc. Invertire ciascuna voce. Scambiare c e b. Arrotondare 1,5. Usare det=2 perdendo il segno.

Esempi realizzati

Seme. 1,2,3,4 → det −2, inversa −2, 1, 1,5, −0,5.
Prodotto A A⁻¹ = I sugli stessi numeri.
Sistema Ax=b con la stessa inversa, b a scelta dell’esercizio: prima le quattro voci, poi il prodotto.

Interpretare i risultati

det −2: invertibile, orientamento inverso. a′=−2 è la voce (1,1) dell’inversa, non «meno il det».

Registrazione e condivisione dei risultati

Matrice, det, quattro voci, verifica I. Non inviare solo −2.

Consigli pratici

Segno di det prima dell’inversa.
1,5 = 3/2 in frazione.
Per vettori 3D: prodotti, non questa 2×2.
Se det è 10⁻¹⁶, è numericamente singolare: non è il seme.

Chi insegna in Italia riconosce un sistema 2×2: i numeri [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5 non sono decorazione, sono il banco di prova. Chiara li usa per una consegna verificabile. Se il risultato sullo schermo diverge, il primo sospetto è ad+bc, non «il sito è rotto». Ripeti il caso aureo prima di inventare un secondo esempio con cifre diverse.

Un secondo passaggio utile è raccontare i numeri [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5 a voce, senza guardare i campi. Se non riesci a ricostruire la storia di Chiara in tre frasi, non hai ancora capito che cosa misura lo strumento. Un sistema 2×2 impone unità, segni e ordine dei dati: copiali come sono, poi interpreta.

Terzo: confronta con lo strumento vicino nel percorso, senza copiare i paragrafi. I valori [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5 non devono migrare in un’altra pagina che ha un altro seme. Chiara tiene due fogli: questo calcolo e il link successivo. Mescolare i semi è ad+bc sotto un altro nome.

Quarto: registra. Data, nomi dei campi in inglese come in interfaccia, numeri [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5, frase in italiano di un sistema 2×2. Chi riceve lo screenshot tra sei mesi deve poter ripetere. Se manca un’unità, Chiara la aggiunge a mano. Se manca il segno, il racconto crolla.

Quinto: i limiti. Questo non è un software professionale di certificazione. Serve a scuola, a un ripasso, a un controllo rapido su un sistema 2×2. Per una perizia, un protocollo clinico o un capitolato, i numeri [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5 sono didattica. Chiara lo scrive nel verbale.

Sesto: errori umani ricorrenti oltre a ad+bc. Copiare un decimale con il punto sbagliato. Incollare un campo in un altro. Arrotondare troppo presto. Cambiare un solo input e dimenticare che il motore ricalcola tutto. Su [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5 questi errori si vedono subito perché i risultati attesi sono noti.

Settimo: come spiegare a un collega che non ha letto la pagina. «Abbiamo [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5 perché un sistema 2×2.» Poi un minuto su ad+bc. Poi il link allo strumento successivo se il mestiere cambia. Chiara non fa un trattato: fa una catena corta.

Ottavo: verifica finale. Chiudi gli occhi, riditta i numeri [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5, ricalcola il pezzo centrale a mano, confronta lo schermo. Se torna, puoi condividere. Se non torna, hai ad+bc o un campo vuoto. Un sistema 2×2 non perdona l’ambiguità delle etichette: nominale e numerico devono coincidere.

Nono: lingua. I campi restano con le etichette del registro (spesso in inglese). La prosa è in italiano. Chiara traduce a voce «questo campo è…» così nessuno inserisce la percentuale come 0,25 o i metri nei centimetri. I numeri [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5 restano invariati: sono i golden values.

Decimo: dopo la condivisione. Se un revisore chiede «da dove esce questo?», la risposta è questa pagina, i campi compilati, [[1,2],[3,4]], det −2, inversa −2,1,1,5,−0,5, e il rifiuto di ad+bc. Un sistema 2×2 diventa allora un caso citabile, non un screenshot orfano.

Chiara moltiplica riga 1 di A per colonna 1 di A⁻¹: 1·(−2)+2·1,5=1. det=ad−bc=−2, non 10. a′=d/det=−2, b′=1, c′=1,5=3/2, d′=−0,5. det=0: stop. 3×3 e autovalori assenti. Vettori î, ĵ e distanza 13 stanno altrove. Arrotondare 1,5 a 2 rompe I. Segno di det prima dell’inversa. Sistemi Ax=b: prima le quattro voci, poi il prodotto.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 1, la scena «uno due tre quattro» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per uno due tre quattro deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena uno due tre quattro non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 2, la scena «determinante meno due» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per determinante meno due deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena determinante meno due non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 3, la scena «inversa meno due» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per inversa meno due deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena inversa meno due non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 4, la scena «uno virgola cinque» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per uno virgola cinque deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena uno virgola cinque non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 5, la scena «prodotto identità» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per prodotto identità deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena prodotto identità non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 6, la scena «singolare vietato» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per singolare vietato deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena singolare vietato non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 7, la scena «due per due solo» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per due per due solo deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena due per due solo non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 8, la scena «vettori tre d dopo» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per vettori tre d dopo deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena vettori tre d dopo non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 9, la scena «frazione tre mezzi» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per frazione tre mezzi deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena frazione tre mezzi non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 10, la scena «segno del det» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per segno del det deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena segno del det non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 11, la scena «uno due tre quattro» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per uno due tre quattro deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena uno due tre quattro non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 12, la scena «determinante meno due» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per determinante meno due deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena determinante meno due non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 13, la scena «inversa meno due» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per inversa meno due deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena inversa meno due non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 14, la scena «uno virgola cinque» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per uno virgola cinque deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena uno virgola cinque non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 15, la scena «prodotto identità» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per prodotto identità deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena prodotto identità non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 16, la scena «singolare vietato» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per singolare vietato deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena singolare vietato non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 17, la scena «due per due solo» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per due per due solo deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena due per due solo non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 18, la scena «vettori tre d dopo» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per vettori tre d dopo deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena vettori tre d dopo non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 19, la scena «frazione tre mezzi» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per frazione tre mezzi deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena frazione tre mezzi non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 20, la scena «segno del det» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per segno del det deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena segno del det non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 21, la scena «uno due tre quattro» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per uno due tre quattro deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena uno due tre quattro non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 22, la scena «determinante meno due» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per determinante meno due deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena determinante meno due non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 23, la scena «inversa meno due» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per inversa meno due deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena inversa meno due non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 24, la scena «uno virgola cinque» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per uno virgola cinque deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena uno virgola cinque non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 25, la scena «prodotto identità» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per prodotto identità deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena prodotto identità non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 26, la scena «singolare vietato» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per singolare vietato deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena singolare vietato non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 27, la scena «due per due solo» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per due per due solo deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena due per due solo non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 28, la scena «vettori tre d dopo» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per vettori tre d dopo deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena vettori tre d dopo non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 29, la scena «frazione tre mezzi» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per frazione tre mezzi deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena frazione tre mezzi non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Nel dettaglio matrix 2x2 al passo 30, la scena «segno del det» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per segno del det deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena segno del det non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.

Limitazioni e quando non utilizzarlo

Solo 2×2. Niente autovalori. Niente minimi quadrati. Virgola mobile.

Quando cercare un altro strumento

Prodotti 3D: punto e incrociato.
Punti nello spazio: distanza 3D.
Algebra dei binomi: FOIL.