Calcolatore dell'algoritmo di Euclide
Il calcolatore dell’algoritmo di Euclide accetta a e b e restituisce gcd e lcm. Con 48 e 18: MCD 6, mcm 144. Non stampa la tabella dei resti: la ricostruisci, che è proprio l’esercizio.
Perché i resti successivi trovano il MCD senza fattorizzare
Fattorizzare 48 e 18 è facile; fattorizzare numeri a quattro cifre no. Euclide sostituisce la coppia (a,b) con (b, a mod b) finché il resto è zero. L’ultimo non nullo è il MCD. Su 48 e 18 la catena è corta: 12, poi 6, poi 0.
Il mcm 144 nasce dopo, dall’identità del prodotto. Chi si ferma al 6 e poi somma frazioni con denominatore 48×18=864 ha capito a metà. Chi insegna programmazione trova qui il while (b) { t=b; b=a%b; a=t } incarnato in un risultato verificabile.
Prima di iniziare
Due interi, seme 48 e 18. Foglio per i resti se il docente li vuole. Vicino: GCD/LCM per il flag di primalità, modulo per 17 mod 5, frazioni per usare il 144.
Casi d’uso comuni
- Svolgere Euclide su 48, 18 fino al 6
- Ottenere 144 come mcm senza sbagliare gli esponenti
- Verificare un while di resto in informatica
- Preparare la riduzione di 48/18 = 8/3
- Confrontare con la fattorizzazione 2⁴×3 e 2×3²
- Passare alle congruenze quando il resto è il messaggio
Come utilizzare questa calcolatrice
- Inserisci a (48).
- Inserisci b (18).
- Leggi gcd (6) e lcm (144).
Procedura dettagliata passo dopo passo
Diego deve mostrare Euclide, non solo il risultato.
Situazione: a=48, b=18, consegna con resti.
Calcolo a mano: 48=2·18+12; 18=1·12+6; 12=2·6+0. MCD=6. mcm=864/6=144.
Schermo: gcd 6, lcm 144. Diego copia i resti dal foglio e i due numeri dallo schermo.
Controllo: 48/6=8, 18/6=3, coprimi.
Formula e metodo
Ripeti a, b ← b, a mod b. Poi lcm = |ab|/gcd.
Comprendere ogni input
- a, b: interi del seme 48 e 18.
- gcd, lcm: 6 e 144.
Ipotesi
Interi. Stesso Euclide della pagina GCD/LCM, senza flag primo. Nessuna tabella resti in UI.
Errori comuni con Calcolatore dell’algoritmo di Euclide
Fermarsi al primo resto 12 e chiamarlo MCD. Usare 864 come mcm. Confondere con 17 mod 5. Invertire l’identità (dividere invece di moltiplicare).
Esempi realizzati
-
Catena 48, 18. gcd 6, lcm 144.
-
Riduzione. 48/18=8/3 usando 6.
-
Prodotto. 6×144=864.
Interpretare i risultati
6 è il generatore comune. 144 è il primo istante in cui entrambi i cicli coincidono se parti da zero. Non è un resto modulo.
Registrazione e condivisione dei risultati
Scrivi la catena dei resti e i due output. Cita «Euclide, 48 e 18».
Consigli pratici
- Impara la catena a memoria: 48, 18, 12, 6, 0.
- Usa il modulo per un resto singolo, non per il MCD.
- Per primalità di 48, pagina GCD/LCM.
- Per 1/2+1/3 il mcm è 6, coppia diversa: non mescolare i semi.
Chi insegna in Italia riconosce una verifica del while: i numeri 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144 non sono decorazione, sono il banco di prova. Diego li usa per una consegna verificabile. Se il risultato sullo schermo diverge, il primo sospetto è fermarso al resto 12, non «il sito è rotto». Ripeti il caso aureo prima di inventare un secondo esempio con cifre diverse.
Un secondo passaggio utile è raccontare i numeri 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144 a voce, senza guardare i campi. Se non riesci a ricostruire la storia di Diego in tre frasi, non hai ancora capito che cosa misura lo strumento. Una verifica del while impone unità, segni e ordine dei dati: copiali come sono, poi interpreta.
Terzo: confronta con lo strumento vicino nel percorso, senza copiare i paragrafi. I valori 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144 non devono migrare in un’altra pagina che ha un altro seme. Diego tiene due fogli: questo calcolo e il link successivo. Mescolare i semi è fermarso al resto 12 sotto un altro nome.
Quarto: registra. Data, nomi dei campi in inglese come in interfaccia, numeri 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144, frase in italiano di una verifica del while. Chi riceve lo screenshot tra sei mesi deve poter ripetere. Se manca un’unità, Diego la aggiunge a mano. Se manca il segno, il racconto crolla.
Quinto: i limiti. Questo non è un software professionale di certificazione. Serve a scuola, a un ripasso, a un controllo rapido su una verifica del while. Per una perizia, un protocollo clinico o un capitolato, i numeri 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144 sono didattica. Diego lo scrive nel verbale.
Sesto: errori umani ricorrenti oltre a fermarso al resto 12. Copiare un decimale con il punto sbagliato. Incollare un campo in un altro. Arrotondare troppo presto. Cambiare un solo input e dimenticare che il motore ricalcola tutto. Su 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144 questi errori si vedono subito perché i risultati attesi sono noti.
Settimo: come spiegare a un collega che non ha letto la pagina. «Abbiamo 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144 perché una verifica del while.» Poi un minuto su fermarso al resto 12. Poi il link allo strumento successivo se il mestiere cambia. Diego non fa un trattato: fa una catena corta.
Ottavo: verifica finale. Chiudi gli occhi, riditta i numeri 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144, ricalcola il pezzo centrale a mano, confronta lo schermo. Se torna, puoi condividere. Se non torna, hai fermarso al resto 12 o un campo vuoto. Una verifica del while non perdona l’ambiguità delle etichette: nominale e numerico devono coincidere.
Nono: lingua. I campi restano con le etichette del registro (spesso in inglese). La prosa è in italiano. Diego traduce a voce «questo campo è…» così nessuno inserisce la percentuale come 0,25 o i metri nei centimetri. I numeri 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144 restano invariati: sono i golden values.
Decimo: dopo la condivisione. Se un revisore chiede «da dove esce questo?», la risposta è questa pagina, i campi compilati, 48, 18, resti 12 e 6, MCD 6, mcm 144, e il rifiuto di fermarso al resto 12. Una verifica del while diventa allora un caso citabile, non un screenshot orfano.
Diego consegna 48=2·18+12, 18=1·12+6, 12=2·6+0, ultimo non nullo 6, mcm 864/6=144. Invertire 18 e 48 non cambia il MCD. b=0 è un limite, non il test. GCD/LCM aggiunge il flag su 48. 17 mod 5 è un resto singolo. Fattorizzare 2⁴×3 e 2×3² conferma 6 e 144 ma Euclide evita la fattorizzazione quando i numeri crescono. Niente coefficienti di Bézout in UI.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 1, la scena «catena resti» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per catena resti deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena catena resti non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 2, la scena «quarantotto e diciotto» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per quarantotto e diciotto deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena quarantotto e diciotto non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 3, la scena «dodici poi sei» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per dodici poi sei deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena dodici poi sei non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 4, la scena «ultimo non nullo» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per ultimo non nullo deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena ultimo non nullo non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 5, la scena «ottocentosessantaquattro mezzi» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per ottocentosessantaquattro mezzi deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena ottocentosessantaquattro mezzi non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 6, la scena «identità prodotto» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per identità prodotto deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena identità prodotto non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 7, la scena «while informatico» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per while informatico deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena while informatico non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 8, la scena «flag primalità altrove» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per flag primalità altrove deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena flag primalità altrove non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 9, la scena «Bézout assente» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per Bézout assente deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena Bézout assente non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 10, la scena «fattorizzazione opzionale» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per fattorizzazione opzionale deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena fattorizzazione opzionale non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 11, la scena «catena resti» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per catena resti deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena catena resti non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 12, la scena «quarantotto e diciotto» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per quarantotto e diciotto deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena quarantotto e diciotto non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 13, la scena «dodici poi sei» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per dodici poi sei deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena dodici poi sei non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 14, la scena «ultimo non nullo» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per ultimo non nullo deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena ultimo non nullo non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 15, la scena «ottocentosessantaquattro mezzi» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per ottocentosessantaquattro mezzi deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena ottocentosessantaquattro mezzi non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 16, la scena «identità prodotto» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per identità prodotto deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena identità prodotto non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 17, la scena «while informatico» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per while informatico deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena while informatico non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 18, la scena «flag primalità altrove» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per flag primalità altrove deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena flag primalità altrove non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 19, la scena «Bézout assente» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per Bézout assente deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena Bézout assente non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 20, la scena «fattorizzazione opzionale» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per fattorizzazione opzionale deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena fattorizzazione opzionale non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 21, la scena «catena resti» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per catena resti deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena catena resti non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 22, la scena «quarantotto e diciotto» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per quarantotto e diciotto deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena quarantotto e diciotto non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 23, la scena «dodici poi sei» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per dodici poi sei deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena dodici poi sei non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 24, la scena «ultimo non nullo» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per ultimo non nullo deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena ultimo non nullo non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 25, la scena «ottocentosessantaquattro mezzi» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per ottocentosessantaquattro mezzi deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena ottocentosessantaquattro mezzi non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 26, la scena «identità prodotto» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per identità prodotto deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena identità prodotto non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 27, la scena «while informatico» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per while informatico deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena while informatico non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 28, la scena «flag primalità altrove» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per flag primalità altrove deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena flag primalità altrove non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 29, la scena «Bézout assente» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per Bézout assente deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena Bézout assente non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Nel dettaglio euclid algorithm al passo 30, la scena «fattorizzazione opzionale» obbliga a rivedere i campi e a non mescolare i semi aurei di altre pagine. Chi sta usando lo strumento per fattorizzazione opzionale deve citare esplicitamente quei numeri e quella scena, poi chiudere con una riga di verifica sul quaderno. Se la scena fattorizzazione opzionale non torna con lo schermo, il dato è stato digitato altrove o l’unità è cambiata in silenzio.
Limitazioni e quando non utilizzarlo
Niente resti in chiaro. Niente Bézout (coefficienti x,y con 48x+18y=6). Niente crittografia.